d00p hat sich mein Setup angeschaut und die Ursache für mein Problem lokalisiert.
Ich habe folgende Einstellung in Froxlor Panel gesetzt:
Da der awstats-Ordner, der im Kundenroot erstellt wird, nun außerhalb der Documentroots der Domains liegt, erstellt Froxlor keine basic_auth Konfig in den vHosts.
Wenn man die awstats sehen will, kann das über eine Subdomain gelöst werden, deren Documentroot direkt auf das awstats-Verzeichnis zeigt.
